Теория вероятностей — раздел математики, предметом которого является изучение закономерностей в возникновении случайных явлений.

Исследует, как данные вероятности одних случайных событий находят вероятности других событий, связанных каким-либо образом с первыми.

Является теоретической базой для математической статистики, занимающейся разработкой методов сбора, описания и обработки результатов наблюдений. Путём наблюдений (испытаний, экспериментов), т.е. опыта в широком смысле слова, происходит познание явлений действительного мира.

Теория вероятностей также изучает случайные величины и случайные процессы. Одна из основных задач теории вероятностей состоит в выяснении закономерностей, возникающих при взаимодействии большого числа случайных факторов, что привело к созданию закона больших чисел.

Но изучать методами теории вероятностей удаётся не все случайные явления, а только те, которые можно воспроизвести в аналогичных, сопоставимых условиях.

Основными понятиями теории вероятности являются:

Событие — любое явление, которое может произойти в результате определённых действий.

Вероятность — число, которое показывает шансы наступления определённого события.

Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события.

Случайное событие – событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти.

Например, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием. Случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное собтие, несовместное с ними.

Достоверное событие – событие, которое обязательно происходит в результате испытаний. Например, если придать ускорение некоему предмету, свободно лежащему на краю стола, то этот предмет упадёт на пол.

Невозможное событие – событие, которое в результате испытания произойти не может.

Чтобы понять суть теории вероятности, следует рассмотреть предысторию. Фундамент теории был заложен ещё в античные времена. Лукреций, Демокрит, Кар и ещё некоторые учёные древней Греции в своих рассуждениях говорили о равновероятностных исходах такого события, как возможность того, что вся материя состоит из молекул. Таким образом, понятие вероятности использовалось на интуитивном уровне, но оно не было выделено в новую категорию.

Видно, что уже античные учёные заложили крепкий фундамент для возникновения данной теории. Зарождение же теории вероятности приходится на эпоху Средневековья, и связано это событие с азартными играми. В XIII в. французский каноник Ришар де Фурниваль (1201 – 1260 гг.) правильно подсчитал все возможные суммы очков после броска трёх костей и указал число способов, которыми может получиться каждая из этих сумм. Это число способов можно рассматривать как первую числовую меру ожидаемости события, аналогичную вероятности.

В XVI в. итальянские математики Джероламо Кардано (1501 – 1576 гг.) и Никколо Тарталья (1500 или 1501 – 1557 гг.) подсчитали различные варианты того, как выпадают очки при игре в кости и карты.

Но датой рождения теории вероятностей считается 1654 г. В этом году известный при французском королевском дворе вельможа – шевалье де Мере обратился к известному математику Блезу Паскалю (1623 – 1662 гг.) с гневным письмом в адрес математики. В нём он возмущался, что его собственные теоретические расчёты результатов игры в кости не подтвердились на практике, и обвинял в своём проигрыше математику. И чтобы Паскаль сам убедился в истинности выводов шевалье, де Мере предложил ему решить две задачи. В первой необходимо было узнать, сколько раз требуется метать кости, чтобы выпало 12 очков, т.е. максимальное количество при игре в кости. Здесь только одно сочетание является благоприятным, остальные — нет, и вероятность вычисляется просто. Вторая задача намного хитрее: как распределить выигрыш между игроками, если партия не окончена. Паскаль не только сам взялся за решение этих задач, но и написал о своём споре с шевалье де Мере в письме одному из величайших математиков всех времён Пьеру де Ферма (1607-1665 гг.), жившем тогда в Тулузе.

Ферма и Паскаль решили обе эти задачи одновременно. Ферма использовал созданную им теорию сочетаний, а Паскаль — простые арифметические соображения. Оба французских математика, разбирая эти задачи, сумели создать расчёты, положившие начало новой науке.

Чуть позже к теории вероятностей обратился голландский механик, физик, математик, астроном и изобретатель Христиан Гюйгенс (1629 —1695 гг.). Он написал работу «О расчётах в азартной игре», которая до начала XVIII в. оставалась единственным руководством по теории вероятностей и оказала большое влияние на многих математиков. В своей работе он ввёл такие понятия, как: вероятность как величины шанса или возможности; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса, а также теоремы сложения и умножения вероятностей, которые, впрочем, не были сформулированы в явном виде. Тогда же теория вероятностей стала находить сферы своего применения в других областях – демографии, страховом деле, при оценке ошибок наблюдений.

А XVIII в. появились монографии с систематическим изложением теории вероятностей. Первой из них стала книга шведского математика Якоба Бернулли (1655 — 1705 гг.) «Искусство предположений». В ней автор предложил классическое определение вероятности случайного события как отношение числа равновероятных исходов, связанных с этим событием, к общему числу исходов. Он также изложил правила подсчёта вероятности для сложных событий и дал первый вариант ключевого «закона больших чисел», разъясняющего, почему частота события в серии испытаний не меняется хаотично, а в некотором смысле стремится к своему предельному теоретическому значению, т.е. вероятности.

Идеи Бернулли далеко развили в начале XIX в. французский математик, механик, физик и астроном Пьер-Симон де Лаплас (1749 – 1827 гг.), немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист Иоганн Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855 гг.), французский учёный, работавший над статистикой, комплексным анализом, уравнениями в частных производных, вариационным исчислением, аналитической механикой, электричеством и магнетизмом, термодинамикой, упругостью и механикой жидкостей Симеон Дени Пуассон (1781 – 1840 гг.) Благодаря его исследованиям применение вероятностных методов в прикладной статистике значительно расширилось.

Понятие вероятности определено и для непрерывных случайных величин, благодаря чему появилась возможность применения методов математического анализа.

В 1889 г. французский математик Жозеф Бертран (1822 — 1900 гг.) в своём курсе «Анализ вероятностей» предложил ряд парадоксов, связанных с геометрической вероятностью. В каждом парадоксе разное истолкование понятий «наудачу» или «взятое произвольно» приводило к разным решениям задачи. Обсуждение парадоксов Бертрана содействовало уточнению оснований теории вероятностей и смысла термина «равновероятно».

В эту же эпоху сделаны первые попытки применения теории вероятности в физике и механике.

К концу XIX в. появляются статистическая физика, строгая теория ошибок измерения, вероятностные методы проникают в самые различные прикладные науки.

В XX в. в физике создана теория микромира, а в биологии — теория наследственности, обе они существенно основаны на вероятностных методах. Английский математик, статистик, биолог и философ, основатель математической статистики, один из основоположников биометрики Карл Пирсон (1857 — 1936 гг.) разработал алгоритмы математической статистики, широко и повсеместно применяемые для анализа прикладных измерений, проверки гипотез и принятия решений.

В России в первой половине XIX в. начали возникать собственные серьёзные исследования по теории вероятностей.

Первый учебный курс по этой дисциплине начал читать в 1829 г. в Вильнюсском университете магистр философии Сигизмунд Ревковский (1807–1893 гг.). Там же в 1830 г. создана первая в Российской Империи кафедра теории вероятностей.

В Петербургском университете лекции по теории вероятности с 1837 г. читал сначала, экстраординарный профессор по кафедре математики, член артиллерийского отделения военно-учёного комитета Военного министерства Викентий Александрович Анкудович (1790 — 1876 гг.), а с 1850 г. — известный математик Виктор Яковлевич Буняковский (1804 — 1889 гг.), внесший значительный вклад в теорию чисел.

В 1846 г. Буняковский опубликовал фундаментальный учебник «Основания математической теории вероятностей». Придуманная им русская терминология стала общепринятой.

В Московском университете курс теории вероятности появился в 1850 г., лекции читал математик и механик, заслуженный профессор и декан физико-математического факультета МГУ, автор трудов по применению теории вероятностей к статистике Август Юльевич Давидов (1823—1885/1886 гг.), будущий президент Московского математического общества.

Статьи по вероятностным темам публиковали многие крупные математики России, в том числе М.В. Остроградский, Н.Д. Брашман, Н.И. Лобачевский, Н.Е. Зернов.

Первыми русскими математиками мирового уровня в теории вероятностей стали основоположник петербургской математической школы, академик Петербургской академии наук и ещё 24 академий мира Пафнутий Львович Чебышёв (в советских учебниках его фамилия писалась неправильно – Чебышев) (1821— 1894 гг.) и его ученики Андрей Андреевич Марков (1856 — 1922 гг.) и Александр Михайлович Ляпунов (1857 — 1918 гг.).

Один из самых выдающихся математиков XX в., человек с широчайшим математическим кругозором Андрей Николаевич Колмогоров (1903 г. — 1987 г.) дал классическую аксиоматику теории вероятностей. Он же в 1926 г. определил условия, необходимые и достаточные для выполнения закона больших чисел.

Математический аппарат теории вероятностей значительно обогатился во многих направлениях. После разработки теории меры это общее понятие оказалось удобно применить к теории вероятностей, т.е. рассматривать вероятность как меру (конечного или безконечного) множества «благоприятных событий». Такой подход позволяет описывать и исследовать свойства вероятности на хорошо разработанном языке теории множеств.

В теории динамических систем обнаружено, что решения дифференциальных уравнений некоторых систем ведут себя как случайные процессы. Это крупное открытие привело к созданию понятия «динамический хаос» и общей «теории хаоса». Одним из примеров является «задача трёх тел» небесной механики.

Из других новых областей применений теории вероятностей необходимо упомянуть теорию информации и теорию случайных процессов. Философские споры о том, что такое вероятность и в чём причина её устойчивости, продолжаются до сих пор.

На сегодняшний день теории вероятностей – это самостоятельная наука, имеющая огромную сферу применения, помимо того, что она стала чуть ли не самой первой по прикладному значению из всех математических дисциплин. При этом возникновение новых, в большинстве своем «порождённых» ею наук, таких как: «теория игр», «теория информации», «страховая математика» или «стохастическая финансовая математика» – привело к положению, при котором теорию вероятностей также приходится рассматривать как объединение большого числа разнородных математических дисциплин.

Примеров реального использования теории вероятности в жизни множество. Практически вся современная экономика базируется на ней. Выпуская на рынок определённый товар, грамотный предприниматель учитывает риски, а также вероятности его реализации. Практически не представляют свою жизнь без теории вероятности биржевые брокеры. Предсказывание денежного курса на денежных опционах даёт возможность зарабатывать на данной теории серьёзные деньги.

Теория вероятности имеет значение в начале практически любой деятельности, а также для её регулирования. Благодаря оценке шансов той или иной неполадки, например в автомобиле, помогают разумному водителю избежать неприятностей в поездке, если он заранее проверит «слабые» места. Возможности теракта в метрополитене, экономического кризиса или ядерной войны – всё это можно выразить в процентах и предпринять соответствующие контрдействия, исходя из полученных данных.

См. Вероятность